Le théorème de Bernoulli

   L'équation énoncée par le physicien suisse Daniel Bernoulli (1700-1782) décrit la dynamique d'un fluide parfait (non visqueux et incompressible) pour un écoulement permanent (vitesse indépendante du temps).

1. Écoulement horizontal

        On considère un volume V d'un fluide de masse m définie par sa section droite d'entrée S1 et sa section  droite de sortie S2 (avec S1 < S2).

        On effectue le bilan énergétique.  

                                                                                                       

  • en 1 :   Ec1 + Ep1  = 1/2mv12 + mgz1
  • en 2 :   Ec2 + Ep2  = 1/2mv22 + mgz2

où Ec est l'énergie cinétique, g est l'intensité de pesanteur, m la masse, Ep l'énergie potentielle de pesanteur et v la vitesse

                d'après le principe de conservation de l'énergie (principe physique selon lequel l'énergie totale d'un système isolé ou pseudo isolé est invariante au cours du temps) on obtient :

                        Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2                 soit                  1/2mv12 + mgz1 = 1/2mv22 + mgz2

            or l'écoulement est horizontal   z1 = z2            d'où     1/2mv12 = 1/2mv22         

            L'équation de continuité implique que si   S1 < S2  alors  v1 > v2. Ce qui contredit l'équation :

 

 Equation de continuité:

En prenant la vitesse moyenne

(Section en A)x(Vitesse en A) = (Section en B)x(Vitesse en B)= débit volumique constant

nous en déduisons la vitesse au point B

 (Vitesse en B) = (Section en A)/(Section en B)x(Vitesse en A)

  • Il existe donc une autre forme d'énergie :

  l'énergie potentielle de pression due au travail des forces pressantes ou énergie élastique: un gaz si il est comprimé aura tendance à retrouver son volume initial.

          Elle a comme expression en 1 :                       Epp1= p1V

                                               et en 2 :                   Epp2 = p2V

ou p est la pression du gaz

    V est le volume du gaz

            Pour un écoulement horizontal, on obtient : 1/2mv12 + p1V = 1/2mv22 + p2V

2. Relation de Bernoulli

        Le principe de conservation de l'énergie permet d'écrire :          Ec1 + Ep1 + Epp1 = Ec2 + Ep2 + Epp2

        Ce qui donne :     1/2mv12 + mgz1 + p1V = 1/2mv22 + mgz2 + p2V

        En divisant par le volume V, on obtient l'équation de Bernoulli la plus employée :     
                                    1/2rv12 + rgz1 +  p1 = 1/2rv22  + rgz2  +  p2

                        ou        1/2rv2 + rgz +  p = Constante

ou r est la masse volumique du gaz (rho)

v est la vitesse

g est l'intensité de pesanteur

z l'altitude

p la pression du gaz

V le volume du gaz

        La relation de Bernoulli indique que la pression du fluide et la vitesse des molécules constituant  ce fluide varient en sens inverse.

            Si, par exemple, pour une altitude h donnée, la vitesse v du fluide augmente, afin que l'égalité de Bernoulli demeure, il est nécessaire que la pression p diminue, ce qui défie l'intuition. Cette propriété est celle qui permet d'avoir une dépression sur l'extrados et donc de faire voler l'avion.

        La relation de Bernoulli peut revêtir d'autres formes :

                      (v²/2g) + z + (p/rg) = Constante         ou encore        (v²/2) + gz + (p/r) = Constante

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